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在高等数学教学的过程中,想要将微积分理论弄清楚,就必须要将极限理论进行透彻的分析.因此,在某种意义上,对极限理论的理解能够为高等数学的学习打下坚实的基础.极限理论是一种研究事物动态数量关系的方法,它是高等数学理论基础的重要组成部分,是区别初等数学和高等数学的重要标志.极限理论在高等数学中扮演着极为重要的角色,对函数连续的概念、导数和微积分等定义的确定有着十分重要的作用.
一、极限理论的发展历程
高等数学是现代科学技术中应用最为广泛的一门学科,是现代数学的基础.高等数学要对静态数量关系和动态数量关系进行研究和分析,在这一背景下,极限作为一种研究事物的方法应运而生.在我国,无限分割是最早出现的极限思想,我国数学家刘徽提出了以割圆术的方法来求圆的面积,后来,数学家祖冲之也通过割圆术计算圆的面积,并将圆周率精确到小数点后7位.随着历史的推进,数学家波尔查诺最早提出用极限理论方法在区间上进行连续的方法,而经过数学家维尔斯特拉斯和柯西的努力,极限理论摆脱了几何直观和想象,变得更加成熟,逐渐形成了现在一系列的极限理论.
二、极限理论在高等数学教学中的作用
1.高等数学的重点内容中均包含着极限思想
在高等数学的领域中,微积分无疑是其最核心的内容,而微分和积分的实质就是极限思想.同时,在高等数学其他重要的概念里,函数连续概念和导数的定义都是极限思想给出.可以说,高等数学的重点内容中均包含着极限思想.
（1）函数连续概念. 函数连续的概念是由极限思想定义的.如果简单地从图形上来看,连续函数就像是坐落在坐标系上的连绵山脉.但是这种直观的感受并不精确,直到数学家柯西和维尔斯特拉斯建立了基本的极限理论,函数连续的概念才得到了精确的定义.可以说,函数连续概念也是极限理论的一种表现形式.
（2）导数. 导数的定义以极限为基础,也是极限理论的一种表现形式.在最初,一位法国数学家在研究极值问题时提出了导数的概念,而在之后的研究过程中,先后有德国数学家和英国数学家在求已知曲线的切线和研究物体运动速度时建立了相同的模型来解决问题.尽管这两个研究课题在形式上并不相同,甚至不是同一个领域的问题,但是他们都可以在极限理论的基础上,利用导数的定义来解决问题.
（3）微积分. 积分有定积分、不定积分、多重积分和曲面积分等多种形式,不定积分是利用导数的反运算性质来推导的定义,而导数又是以极限理论为基础的.因此,不定积分也是极限理论的表现形式.另外,其他形式的一些积分形式都是由极限直接定义的.例如定积分的研究,数学家在研究曲边梯形的面积和变力作功时,引入了定积分的定义,它是一种经过“分割,近似求和,取极限”的求解方式,是一种较为特殊的极限.
2.极限使高等数学的各部分得到统一
在高等数学的学习中,极限方法是一种研究数学变量问题的基本方法,它使人们从有限认识到无限认识.在某种意义上,极限理论体现了常量和变量的对立统一,是一种将客观世界的量变问题转换成质变过程的理论,它可以将函数连续概念、导数和微积分等高等数学的各部分进行统一处理.例如,在正项级数和极限的关系中,正项级数的序列成单增态势,因此根据单调有界函数必有极限的性质,在进行项级数讨论时,学生可以利用取绝对值的方法,将其转化成正项级数或非负项级数,并解出正确答案.
这说明级数和无穷限广义积分之间可相互转换.
由此可见,在高等数学学习的各个部分,都可以在极限的本质“其差值为无穷小量”的基础上来进行定义的转换,极限理论的出现和使用,使高等数学的各部分有机地统一在一起,更好地帮助学生的学习和理解.
综上所述,极限理论是高等数学教学中最基础的知识,也是高等数学中最重要的内容.极限理论为微积分的教学打下了坚实的基础,它是一门以极限理论为主要研究工具来研究函数的学科.因此,教师在教学过程中要注重对学生极限思考的锻炼,帮助学生理清极限理论的重要概念,使学生能够掌握极限理论的实质性问题,从而更好地强调极限理论在高等数学中的地位.
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