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夏至日或冬至日当天,白天有多长时间?太阳光线和地平面的夹角为多少度?如何由当地竖杆的影子长度来计算竖杆的高度?这些有趣的问题,和物理、数学和地理知识密切相关,而且可推导出地球昼长公式和正午太阳高度角公式,由公式来计算某地冬至日或夏至日的昼长和正午太阳高度角.冬至和夏至都是农历二十四节气,对于北半球一定纬度处,冬至那天,白天最短,正午太阳高度最小；而夏至那天,白天最长,正午太阳高度最大.过了冬至,北半球白天的日照时间增长,同时太阳直射点逐渐北移,使得正午太阳高度逐渐增大,所以高纬度地区每天获得太阳的热量逐渐增多.随着地区纬度和季节的不同,昼长不同,高度角不同.下面分别推导地球昼长公式和冬至或夏至的正午太阳高度角公式并举例应用.
一、地球昼长公式
地球自转一周的时间是一昼夜,而地球自转大约每小时转过 ,如果知道某天太阳直射地球时形成的晨昏圈将某地所在的纬线圈分为两部分所对应昼弧的角度数,即可算出白天的时间长度.
把太阳视为点光源,由于地球半径对太阳中心的张角为arcsin63711.496×108≈0,因此点光源发出平行光线直射地球,如图1所示,大圆表示地球的一条经线圈,太阳发出的平行光线和地球切点的连线构成球面大圆,称为晨昏圈,其直径为kk′,和地轴NS的夹角为δ,这也是太阳光线和赤道平面 ′的夹角,即太阳直射点Z的纬度.一个纬线圈的直径为AA′,纬度为,晨昏圈平面始终和太阳光线垂直,和纬线圈交于直线BB″,将纬线圈分割成夜弧BAB″和昼弧BA′B″.设夜弧对应的圆心角为2ω,昼弧对应的圆心角为2β等于360°-ω,由此可算出昼长.图1的平面图如图2所示,纬线圈平面图如图3所示.
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