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摘 要：解决人口问题对国家的稳定和社会经济的发展都有很重要的作用,因此学术界一直以来都十分关注人口预测的研究课题.本文首先选取Logistics模型对人口规律进行了描述,对未来5年的人口进行预测,再运用灰色系统GM（1,1）模型对我国的人口进行了中短期的预测.引入Leslie模型,根据需要将育龄妇女生育率进行归一化,定义了年龄别水平,利用matlab软件对增长矩阵进行有限次的迭代,预测出来我国的人口高峰达到的时间,并会在之后的一段时间里趋于稳定.
关键词：人口预测；数学模型；分析
一、人口预测数学模型
人口预测方法体系中的数学和统计学方法一直被学术界沿用至今,下面根据研究结果分别选定Logistic模型对我国人口做短期预测；对我国人口进行中期预测时选定了灰色GM（1,1）模型；长期预测则由Leslie模型来完成.
1.Logistic模型
Logistic模型的原型是Malthus模型：学术界的增长矩阵选择灰色GM（1,1）模型预测人口的自然增长率为固定值,即单位时间内的人口增长与人口成比例.
并且假定人口的增长按照指数增长的函数进行；其模型的离散形式为：
[ （+ ） （）] 等于 ?住?
其中 （）表示时刻的人口总数, 就是人口的自然增长率.这个模型说明人口增长一倍所需要的时间是定值,且在未来无限增长.但是当人口总数达到环境最大承载数目时,净增长率趋于零.在这种情况下得到了预测人口增长更为合理的Logistic模型
再进行数据处理.根据中国人口总数的数据,用matlab求解该非线性拟合.得到 等于 0.0678, 等于 0.048 ,拟合的残差resnorm等于0.0016.由绘制的Logistic的增长型函数的图像,得出当∞时,p（t）等于等于14.1250.
然后进行 Logistic模型误差分析.我们通过统计年鉴等工具得到了相应的年代的人口的统计数据,然后利用matlab软件对数据进行处理后,得到了预测值,为了更好做误差分析,先定义误差率为d,预测值为a,真实值为c,然后根据公式求得误差率.
根据中国统计年鉴可以得到1989年到2005年年末的实际总人口总数,然后与函数预测的数值进行计算,我们可以得到相对应的误差率.可以得出随着时间的增长Logistic模型的误差率波动呈上升的趋势,但是该模型在短时间内的误差值比较小,2008年以后的误差率的数值是呈直线上升的趋势,所以我们可以用Logistic模型对我国的人口总数进行短时间内的粗略预测并以此对2018到2023年的人口总数进行预测.
根据数据推测出未来五年全国人口的总数分别为13.25亿、13.31亿、13.42亿、13.47亿和13.52亿；并且全国的总人口在未来趋近14.125亿.但是由误差率合一看到,Logistic模型适用于短期的预测,在中长期的情况下预测的效果不是很好,原因是在现代影响人口增长的因素有很多,除了环境的承载能力,还要受包括医疗水平提高、人口政策的变化,甚至是战争、生育观念等因素影响,而这些都不会在数据表面体现出来,Logistic模型在这方面的缺乏降低了人口预测的精确度.
2. GM（1,1）模型的建模与预测
建立GM（1,1）模型：设为已知的原始数据序 等于 {},先对原数据累加以弱化个别数据对整体的影响,生成的新表达式为等于（ 等于 1,2等,,从而得到新序列,然后构造背景序列等于 （2）, （3）,等, （）.一般取 等于 0.5建立影子方程为 等于.离散化,得到GM（1,1）灰微分方程 + 等于 ,其中c,v待定的系数.
求解GM（1,1）模型,应用最小二乘法可经下面的式子求得记 [c,v],[（0）,（0）,等,（0）].基于matlab软件编程求出参数c,v的值,得出预测方程（1）等于[（0）]+,则还原为原始预测值.
灰色模型进行长期的预测时候,时间序列长短和数据的随机波动都会对预测造成误差,因此,通过对数据进行等维递推的方法一定程度上可以消减灰色的区间,提高预测精度.等维递补方法的原理：首先按照已有的数据列建立灰色模型并且预测出第一个数值,再将这个值添加到之后的同事间去除的第一个数值,让它一直保持着等维度,然后再预测下一个 数值,以此类推,直到达成预测精度并完成预测目标.然后用matlab套用灰色模型的公式进行拟合并建模,为编程方便,将时间相应方程简化为等于 ?? （a ??） +,根据程序输出的结果得到原始时间响应方程,然后根据上诉方程预测2008年到2016年的人口数据.并用matlab求出模型的后驗差比值C等于0.0059468506和小概率的P 等于 1.将C值和P值与原数值进行对比,得出该模型的拟合的精度等级为“好”,且可以从上表看到其相对误差的变动范围基本维持在0.1%之间.这些可以进行接下来的人口预测.
根据上述得到的时间相应方程用matlab进行数据处理,得出我国2017年到2052年人口预测值.
2017年的预测值是13.67亿,并以线性的趋势持续增长,到2023年是14.078亿,2033年为14.78亿,2050年突破了16亿.从误差检验上看,灰色模型在短期和中期的预测效果非常好,要优于Logistic模型,但是从预测值整个变动的趋势上看,它的拟合值是呈现直线增长的方式并且长期发展下去,仅以单人口的因素进行推算而没有考虑其他因素,这个是本模型的缺点,所以可以肯定地说灰色系统模型不适合人口长期发展的预测,其误差也会随着时间的推移而逐渐增大.
3.人口增长的长期预测――Leslie模型
Logistic模型能够较好地反映短期人口增长的规律,但是限制的条件也很多,对长期的预测肯定不符合现实,因此本文引入第三个模型,Leslie模型进行人口增长的预测.
结论：关于对写作数学模型论文范文与课题研究的大学硕士、相关本科毕业论文数学模型物理模型论文开题报告范文和相关文献综述及职称论文参考文献资料下载有帮助。
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