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博弈模型涉及多个利益相冲突的决策者.多个目标收益一般难以同时达到最大,所以在博弈论的研究中缺少运筹和管理科学其它领域所取得的最优化结论.但在双方市场中定义的博弈概念,却可以使市场同方参和者的收益同时达到最大.Roth研究了多对一市场中的这种最优化及其路径问题,但作者证明了Roth的结论是错误的,从而使优化理论成为匹配理论研究中的一个缺口、一个有待解决的问题.鉴于此,梳理了双方市场中资源的优化配置、探讨了解决方法并指出未来的研究方向.
博弈论的研究模型涉及多个利益相冲突的决策者.因为多个目标收益一般难以同时达到最大,所以在博弈论的研究中极度缺乏运筹和管理科学其它领域所取得的最优化结论；而且,博弈模型的理论分析一般不注重确定“最优”结果,而是首先注重确定在一些恰当定义下的稳定结果,如纳什均衡.于是,在以双方市场为研究对象的博弈理论—匹配理论—中研究最优化及其路径问题,就显得尤为重要和迫切.
“匹配”是市场的重要功能之一.谁得到了哪一份工作,谁进了哪一所学校,谁同谁结了婚,谁在哪里买了房产等等,都是匹配的结果.匹配博弈理论运用博弈论的分析方法研究现实双方市场的稳定、及因缺乏稳定而失灵问题,为现世经济现象的分析提供可靠的理论依据.Gale and Shapley 1962年发表在《美国数学月刊》（American Mathematical Monthly）上的文章“College admissions and the stability of marriage”,标志着匹配博弈理论的诞生.
2012年,诺贝尔经济学奖授予美国匹配博弈理论学家埃尔文·罗斯（Alvin E. Roth）和罗伊德·夏普利（Lloyd S. Shapley）,使匹配博弈理论成为近期国际和国内同行高度关注的一个热点问题.巧合的是,作者在2012年证明了Roth （1985）关于多对一双方匹配市场中的最优化及其路径问题的结论都是不正确的；作者的论文在运筹和管理类国际一流学术期刊Mathematics of Operations Research上刊发后,立刻引起了国际同行的高度重视和关注,使该问题成为近期国际同行高度关注、博弈论学界急切想要解决的一个重大的、具有挑战性的前沿问题.鉴于此,本文梳理了双方市场中资源的优化配置、探讨了解决方法并指出未来的研究方向.
一、发展状况
在双方市场中定义的博弈概念（如匹配、稳定匹配等）,可以使市场同方参和者（如企业或工人）的收益同时达到最大,这种最优化存在的理论依据是选择匹配的稳定性,选择匹配的稳定性赋予稳定匹配集合一定的格结构,而稳定匹配集合的格结构给出了达到这种最优化的具体路径.
Knuth （1976）解决了一对一双方匹配市场中的最优化及其路径问题.Li （2013）证明了Knuth的结论在替代偏好下不能推广到多对一市场.因为多对多市场是最一般化的双方匹配市场,企业和工人具有完全对称的地位,所以最优化及其路径问题在多对多市场也是一个未解难题.多年来不断有经济学家尝试解决这一问题,但都没有得到肯定的结论.
1.选择匹配的稳定性
给定两个不同的稳定匹配,让每一个企业从它在这两个稳定匹配下的匹配对象的并集中,选出它最偏好的工人集合来.这样选择的结果,定义了一个选择函数,称为由企业作选择的选择匹配.作者已经证明了,在替代偏好下,是一个匹配但不一定是稳定匹配.类似地,让每一个工人从他在这两个稳定匹配下的匹配对象中,选出他最偏好的企业来.这样选择的结果,定义了一个匹配,称为由工人作选择的选择匹配.
Gale and Shapley （1962）证明了：第一,当每一个参和者在市场对方个体上有一个严格的偏好时,一对一和多对一稳定匹配一定存在；第二,由拒绝接受算法产生的是一个提议方最优稳定匹配.Knuth （1976）在一对一市场中研究了这种最优化的理论依据：给定两个不同的稳定匹配,让每一个企业（工人）从它（他）在这两个匹配下的匹配对象中选出它（他）偏好的那个来.当参和者具有严格偏好时,Knuth证明了这样选择的结果依然是个稳定匹配.Knuth的成果给Gale and Shapley最优稳定匹配的存在一个自然的解释.
Roth （1984）推广了Gale and Shapley关于多对一稳定匹配的成果：一是当企业在所有工人集合上有一个完备的、具有传递性的和严格的替代偏好时,多对一稳定匹配一定存在；二是由拒绝接受算法产生的是一个提议方最优稳定匹配. Roth （1985）在多对一市场尝试推广Knuth （1976）的结论：给定两个不同的稳定匹配,让每一个企业（工人）从它（他）在这两个匹配下的匹配对象的并集中选出它（他）最偏好的对象来,这一选择的结果被称为这两个稳定匹配的选择函数.Roth 在替代偏好下证明了：由企业作选择的选择函数是个稳定匹配,由工人作选择的选择函数不一定是个稳定匹配.
Martinez et al （2001）在可分离偏好下研究了由工人作选择的多对一选择匹配的稳定性,他们直接引用Roth的结论来完成他们的主要证明.Blair （1988）提到了,在替代偏好下,由企业作选择的多对多选择匹配不一定是稳定匹配.因为在多对多市场中,工人和企业具有完全对称的地位,所以由工人作选择的多对多选择匹配也不一定是稳定匹配.
由企业作选择的多对一选择匹配的稳定性自Roth （1985）提出后,历经28年,Li （2013）指出Roth的结论是不正确的.Li从选择匹配的构造入手,分析了选择匹配的基本属性,指出Roth的证明忽略了选择匹配的一个重要性质,从而存在严重的逻辑漏洞；并以具体实例表明Roth的结论不一定成立.因为Martinez et al （2001）关于由工人作选择的选择匹配稳定性的证明建立在Roth的结论之上,Li的结论显示他们的成果有待重新考证.又因为多对多市场是多对一市场的一般化,特殊市场不成立的性质在一般化市场一定也不成立.于是,Li（2013）昭示了多对一和多对多市场选择匹配的稳定性成为匹配理论研究中的一个缺口、一个有待解决的问题.
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