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微分方程论文参考文献：

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摘 要:利用Legget-Williams定理及不等式技巧,研究了一类积分边值条件的微分方程正解的存在性,得到其存在三解的充分条件,丰富了以往文献的一些结论.

关键词:正解;积分边值条件;Legget-Williams定理

中图分类号:O175.12文献标识码:A

文章编号:1672-1098(2010)03-0076-03

收稿日期:2010-08-07

作者简介:刘勤凤(1984-),男,安徽天长人,在读硕士,研究方向:泛函分析及其应用.



Theorem about Estance of Triple Symmetric Positive Solutions for A Class ofDifferential Equation

LIU Qin-feng

(College of Math and Physics, Nanjing University of Information Science and Technology, Nanjing Jiangsu 210044, China)

Abstract:By use of the Legget-Williams theorem and inequality techniques, the existence of positive solutions for a class differential equation with integral boundary value condition was studied. Sufficient condition to guarantee the existence of triple positive solutions of this problem was established. The result generalizes many known results.

Key words:positive solutions; integral boundary value condition; Legget-Williams theorem

常微分方程边值问题是常微分方程理论研究的重点,而其中的积分边值问题由于其应用的广泛性,近年来被众多国内外学者所研究.最近, 文献[5]中研究了下列边值问题(BVP).

(u″(t))″等于w(t)f(t,u(t),u′(t)) t∈(0,1)

u(0)等于u(1)等于∫10g(s)u(s)ds

(u″(0))等于(u″(1))等于∫10h(s)(u″(s))ds(1)

至少存在一个、两个和不存在对称正解的情况,主要运用了锥上范数形式的拉伸-压缩不动点

定理.一个自然的问题:式(1)在某种条件下是否存在三个对称正解?本文在文献[5]的基础上,利用Legget-Williams定理研究式(1)的三个对称正解的存在性.

首先做出如下假设:

(A1)∶R→R,奇单增同胚映射,且存在两个单增同胚映射ψ1,ψ2∶(0,∞)→(0,∞)使得

ψ1(u)(v)≤(uv)≤ψ2(u)(v),u,v>0

(A2)w∈L1[0, 1]非负对称的, 且在任何[0, 1]子区间上w(t)0.

(A3)f∶[0,1]×R+×R,连续.这里f(t,u,v)的对称性是指

f(1-t,u,v)等于f(t,u,v),f(t,u,-v)等于f(t,u,v),(t,u,v)∈[0,1]×R+×R

(A4)g,h∈L1[0,1],非负对称的. 记μ等于∫10g(s)ds,v等于∫10h(s)ds.

1 预备知识

设E等于C1[0,1],定义范数‖u‖等于max{‖u‖0,‖u′‖0},其中‖u‖0等于maxt∈[0,1]|u(t)|,显然E为Banach空间. 定义E上的锥P等于{u∈E∶u(t)≥0, u是凹的也是对称的}.定义算子T∶E→E,

(Tu)(t)等于∫10H(t,s)-1[∫10H1(s,τ)w(τ)f(τ,u(τ),u′(τ))dτ]ds(2)

其中:

H1(t,s)等于G(t,s)+11-v[SX)]∫10G(s,τ)h(τ)dτ

H(t,s)等于G(t,s)+11-μ[SX)]∫10G(s,τ)g(τ)dτ

G(t,s)等于t(1-s),0≤t≤s≤1

s(1-t),0≤s≤t≤1

下面给出本文所需的引理.

引理1[1] 设T∶Pc→Pc是全连续的,且α是P上的非负连续凹泛函,满足α(u)≤‖u‖,u∈Pc,又设存在常数0(C1) {u∈P(α,b,d)|α(u)>b}≠且α(Tu)>b,对于u∈P(α,b,d);

(C2) ‖Tu‖(C3) α(Tu)>b,对于u∈P(α,b,c)且‖Tu‖>d.

那么T至少存在三个不动点u1,u2和u3且满足

‖u1‖a且α(u3)

引理2 若(A1)~(A4)成立, 那么u∈E是式(1)的解等价于u是算子T的不动点.

引理3[5]659 若(A1)~(A4)成立,那么算子T∶P→P是全连续的.

引理4[5]658 下列四个命题成立,当(A4)成立且t,s∈[0,1]时,

(i)G(t,s)≥0,H(t,s)≥0,H1(t,s)≥0;

(ii)G(1-t,1-s)等于G(t,s),H(1-t,1-s)等于

H(t,s),H1(1-t,1-s)等于H1(t,s);

(iii)ρe(s)≤H(t,s)≤γe(s),ρ1e(s)≤H1(t,s)≤γ1e(s).

其中

ρ等于∫10e(s)g(s)ds1-μ,

ρ1等于∫10e(s)h(s)ds1-v,

e(s)等于s(1-s),γ等于11-μ,γ1等于11-v.

引理 5 [10]假设(A1)成立,那么u,v∈(0,∞),ψ-12(u)v≤-1(u(v))≤ψ-11(u)v.

2 主要定理

假设(A1~A4)成立,且存在0(I) 当a≤u≤c,(t,u,v)∈[0,1]×[a,c]×[-c,c], 有f(t,u,v)≤(k1c);

(II) 当b≤u≤c,(t,u,v)∈[0,1]×[b,c]×[-c,c], 有f(t,u,v)≤(k2b);

(III) 当0≤u≤a,(t,u,v)∈[0,1]×[0,a]×[-a,a], 有f(t,u,v)≤(k1a).

其中 k1等于min{[∫10γe(s)ds·ψ-11(∫10γ1e(τ)w(τ)dτ)]-1,[12[SX)]ψ-11(∫10γ1e(τ)w(τ)dτ)]-1}

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